Родился 27 июля 1915 года в деревне Вандакурово ныне Колыванского района Новосибирской области в семье крестьянина. Русский.
Образование начальное. Был председателем сельсовета.
В Красной Армии с 1939 года. Службу проходил на Дальнем Востоке, окончил полковую школу младших командиров, получив звание помощника командира пулемётного взвода.
В боях Великой Отечественной войны с июня 1941 года. Воевал под Москвой. Был ранен в 1943 году, после лечения в госпитале вернулся в свою часть.
Стрелок 846-го стрелкового полка (267-я стрелковая дивизия, 51-я армия, 4-й Украинский фронт) рядовой Цуканов в боях за хутор Дергачи в 2 км от г. Севастополя 8 мая 1944 года одним из первых ворвался в траншею противника и в короткой схватке сразил 5 и захватил в плен 4 гитлеровцев.
23 мая 1944 года награждён орденом Славы 3-й степени.
Полк, в котором служил Алексей Алексеевич, был переброшен на 1-й Прибалтийский фронт. Командир пулемётного расчета 510-го стрелкового полка (154-я стрелковая дивизия, 2-я гвардейская армия, 3-й Белорусский фронт) года в бою в районе населенных пунктов Курненен, Иургайштен, Жесбен (14 км восточнее и юго-восточнее г. Даркемен – ныне Озерск Калининградской области) зашёл в тыл врага и из пулемёта поразил расчёты 3-х огневых точек.
22 февраля 1945 года награждён орденом Славы 2-й степени.
В боях под Вильнюсом Алексей получил второе ранение.
Догнал после выздоровления свою часть у Кенигсберга.
Командир пулеметного расчёта того же полка Цуканов 6 марта 1945 года в тяжёлом наступательном бою у населённого пункта Штольценберг (2 км южнее Цинтер – ныне города Корнево Калининградской области) сразил свыше 10 гитлеровцев, подавил огневую точку. 7 марта 1945 года, ворвавшись в окопы противника, уничтожил пулемет с расчётом. Огнем из пулемёта содействовал продвижению стрелковых подразделений. Сам же вновь был ранен.
19 апреля 1945 года награждён орденом Славы 1-й степени.
В 1946 году демобилизован. Возвратившись в родное село Боярка Колыванского района Новосибирской области, работал на ферме, был гуртоправом, лесником, конюхом, пчеловодом. Последние годы жил в городе Новосибирске.
Скончался 11 января 1988 года. Похоронен на Заельцовском кладбище в Новосибирске.
Награждён орденами Отечественной войны 1-й степени, Красной Звезды, Славы 3-х степеней, медалями.
В Новосибирске имя полного кавалера ордена Славы Алексея Алексеевича Цуканова увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы.